Question

16．（Ⅰ）解不等式$\frac{{x}^{2}-x-6}{x-1}$＞0
（Ⅱ）设a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，求证（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）≥8．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{x}^{2}-x-6}{x-1}$=$\frac{（x-3）（x+2）}{x-1}$＞0，利用穿根法，即可求得不等式的解；
（2）将不等式转化成$\frac{（b+c）（c+a）（a+b）}{abc}$由基本不等式的性质即可求证（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）≥8．

解答 解：（1）由不等式$\frac{{x}^{2}-x-6}{x-1}$=$\frac{（x-3）（x+2）}{x-1}$＞0，
由穿根法可知：-2＜x＜1，或x＞3，
∴不等式的解集为{x丨-2＜x＜1，或x＞3}；

（2）证明（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）=$\frac{1-a}{a}$•$\frac{1-b}{b}$•$\frac{1-c}{c}$，
=$\frac{（b+c）（c+a）（a+b）}{abc}$≥$\frac{2\sqrt{bc}•2\sqrt{ac}•2\sqrt{ab}}{abc}$=8，
当且仅当a=b=c时取等号，

点评 本题考查不等式的解法及基本不等式的性质，考查穿根法的应用，属于中档题．