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如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC.
(Ⅰ)求证:OD∥平面PAB;
(Ⅱ)当k=时,求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;
(Ⅲ)当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心?
(注:若△ABC的三点坐标分别为A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),则该三角形的重心坐标为:.)

【答案】分析:(Ⅰ)利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明;
(Ⅱ)利用线面角公式=即可得出;
(Ⅲ)不妨设OB=2,则分别表示出点A、B、C的坐标,再利用AB=BC==kPA即可表示出点P的坐标,利用重心的定义即可得出△PBC的重心G的坐标,若满足O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心,则OG⊥平面PBC,利用向量的数量积与垂直的关系即可得出k的值.
解答:(Ⅰ)证明:∵点O、D分别是AC、PC的中点,∴OD∥PA.
又∵OD?平面PAB,PA?平面PAB,
∴OD∥平面PAB.
(Ⅱ)如图所示距离空间直角坐标系.
当k=时,不妨设OB=2,则OA=OC=2,AB=2,∴AP=
∴OP=
∴A(0,-2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,),

设平面PBC的法向量为

令z=1,则=y.∴
设直线PA与平面PBC所成的角为θ,
==
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
(Ⅲ)不妨设OB=2,则AO=OC=2,AB=BC==kPA,∴,可得=
∴A(0,-2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,
),
设G(x,y,z)为△PBC的重心,则G
假设点O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心,则OG⊥平面PBC.
,即,又k>0,解得k=1.
∴当k=1时,O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心.
点评:熟练掌握三角形的中位线定理和线面平行的判定定理、线面角公式=、通过建立空间直角坐标系及重心的定义即可得出△PBC的重心G的坐标、线面垂直的性质定理、向量的数量积与垂直的关系是解题的关键.
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1
2
,x,y),且
1
x
+
a
y
≥8恒成立,则正实数a的最小值为
 

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3
,则PA=
1
1

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