Question

【题目】已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）．

（Ⅰ）求实数m，n的值，并用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；

（Ⅱ）设函数g（x）是定义在（﹣1，1）上的偶函数，当x∈[0，1）时，g（x）＝f（x），求函数g（x）的解析式．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）m＝1，n＝0，见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据奇函数的性质，f（0）＝0，求得n，再根据f（），求得m，再结合增减函数的定义证明即可；

（II）可设﹣1＜x＜0，则0＜﹣x＜1，将代入x∈[0，1）时对应的表达式，再结合偶函数定义即可求解；

（Ⅰ）因为f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，所以f（0）＝0，即n＝0，

又因为f（），所以，解得m＝1，所以m＝1，n＝0，经检验成立；

因为﹣1＜x1＜x2＜1，，

因为﹣1＜x1＜x2＜1，所以x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，所以f（x1）＜f（x2）

所以f（x）在（﹣1，1）上是增函数；

（Ⅱ）因为函数g（x）是定义在（﹣1，1）上的偶函数，且当x∈[0，1）时，g（x）＝f（x），

令﹣1＜x＜0，则0＜﹣x＜1，g（﹣x）g（x），

所以．