【题目】已知, , .
(1)讨论函数的单调性;
(2)记,设, 为函数图象上的两点,且.
(ⅰ)当, 时,若在处的切线相互垂直,求证: ;
(ⅱ)若在点处的切线重合,求的取值范围.
【答案】(1)时, 在上单调递减,即时, 在和上都是单调递减的,在上是单调递增的;(2)(i)见解析;(ii).
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,通过讨论 的范围,判断函数的单调性即可;(2)(i)求出 的解析式,根据基本不等式的性质判断即可;(ii)求出 的坐标,分别求出曲线在的切线方程,结合函数的单调性确定 的范围即可.
试题解析:(1),则,
当即时, , 在上单调递减,
当时即时, ,
此时在和上都是单调递减的,在上是单调递增的;
(2)(i),据题意有,又,
则且, ,
法1: ,
当且仅当即, 时取等号.
法2: , ,
当且仅当时取等号.
(ii)要在点处的切线重合,首先需要在点处的切线的斜率相等,
而时, ,则必有,即, ,
处的切线方程是:
处的切线方程是: ,即,
据题意则, ,
设, , ,
在上, , 在上单调递增,
则,又在恒成立,
即当时, 的值域是,
故,即为所求.
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【题目】如图,在四棱锥P—ABCD中,平面PAD⊥底面ABCD,其中底面ABCD为等腰梯形,AD∥BC,PA=AB=BC=CD=2,PD=2,PA⊥PD,Q为PD的中点.
(Ⅰ)证明:CQ∥平面PAB;
(Ⅱ)求直线PD与平面AQC所成角的正弦值.
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【题目】张先生知道清晨从甲地到乙地有好、中、差三个班次的客车.但不知道具体谁先谁后.他打算:第一辆看后一定不坐,若第二辆比第一辆舒服,则乘第二辆;否则坐第三辆.问张先生坐到好车的概率和坐到差车的概率分别是( )
A. 、
B. 、
C. 、
D. 、
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【题目】已知函数f(x)= ,g(x)=f(x)﹣a
(1)当a=2时,求函数g(x)的零点;
(2)若函数g(x)有四个零点,求a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,记g(x)得四个零点分别为x1 , x2 , x3 , x4 , 求x1+x2+x3+x4的取值范围.
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【题目】某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业,在一个开学季内,每售出盒该产品获利润元;未售出的产品,每盒亏损元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如图所示,该同学为这个开学季购进了盒该产品,以(单位:盒, )表示这个开学季内的市场需求量,(单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润.
(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量的中位数;
(2)将表示为的函数;
(3)根据直方图估计利润不少于元的概率.
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【题目】已知向量 =(cos ,sin ), =(cos ,﹣sin ),且x∈[ ,π].
(1)求 及| + |;
(2)求函数f(x)= +| + |的最大值,并求使函数取得最大值时x的值.
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【题目】已知等比数列{an}的首项a1= ,公比q满足q>0且q≠1,又已知a1 , 5a3 , 9a5成等差数列;
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=log3 ,记Tn= ,是否存在最大的整数m,使得对任意n∈N* , 均有Tn> 成立?若存在,求出m,若不存在,请说明理由.
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【题目】在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且a+b+c=8. (Ⅰ)若a=2,b= ,求cosC的值;
(Ⅱ)若sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC,且△ABC的面积S= sinC,求a和b的值.
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