Question

如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面互相垂直，两个正方形边长均为2，M、N分别是AC和BF上的点，且AM=FN=x．

（1）求证：MN∥平面BCE;

（2）设MN=y,求函数y=f(x);

（3）当MN最短时,求MN与AC、MN与FB所成的角.

Answer 1

思路解析：本题已知了面面垂直关系,容易想到利用面面垂直的性质,从而构造得到线面垂直关系.第一问要证明线面平行,紧紧围绕着线面平行的判定定理,去寻求相关的线线平行,充分利用正方形的性质,从而得到线线平行;第二问,在第一问的基础上,在相关的三角形中将MN表示出来,进而将第三个问题解决.

解：（1）作MP⊥AB于P，则有MP⊥平面ABFE.

连结PN，又BC⊥平面ABCD，

∴MP∥BC.∴.

又AM=FN,AC=FB,

∴.∴PN∥AF∥BE.

故平面MPN∥平面BCE.MN平面MPN,∴MN∥平面BCE．

（2）∵AM=x，MP=AP=x，

又PN=PB=，

从而由MP⊥平面ABFE知MP⊥PN,MN=.

∴y=（0

（3）由（2）得y=.当x=1时,MN有最小值为1,此时M、N分别为两个正方形的中心,∴.

∴MN∥EC.

∴MN与AC所成的角是∠ACE（或其补角）.

易知△ACE为正三角形,故MN与AC所成的角是60°.

同理，MN与FB所成的角是60°.