Question

某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由厂商承担．若厂商恰能在约定日期(×月×日)将牛奶送到，则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给牛奶厂1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂1万元．为保证牛奶新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送牛奶，已知下表内的信息：

统计信息 汽车行驶路线	在不堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)	在堵车的情况下到达城市乙所需时间(天)	堵车的概率	运费(万元)
公路1	2	3		1.6
公路2	1	4		0.8

（I）记汽车选择公路1运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为(单位：万元)，求的分布列和数学期望；
（II）如果你是牛奶厂的决策者，你选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多？
(注：毛收入＝销售商支付给牛奶厂的费用－运费)

Answer 1

（1）分布列详见解析，；（2）选择公路2运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多.

解析试题分析：本题主要考查实际问题中的数学问题，考查离散型随机变量的分布列和数学期望.第一问，通过分析题意，有堵车和不堵车2种情况，分别求出这2种情况牛奶厂获得的毛收入的值，列出分布列，用期望的计算公式计算出期望；第二问，第二问的情况和第一问一样，先求出走公路2时，毛收入的期望，再比较2个期望和的大小.
试题解析：（I）若汽车走公路1.
不堵车时牛奶厂获得的毛收入 (万元)；
堵车时牛奶厂获得的毛收入 (万元)．                2分
∴汽车走公路1时牛奶厂获得的毛收入的分布列为

ξ	18.4	17.4
P

∴ (万元)．                             5分
（II）设汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入为，则
不堵车时牛奶厂获得的毛收入 (万元)；
堵车时牛奶厂获得的毛收入 (万元)．                7分
∴汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入的分布列为

η	20.2	17.2
P

 (万元)．                              10分
∵，
∴选择公路2运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多．               12分
考点：离散型随机变量的分布列和数学期望.