Question

设椭圆中心在坐标原点，A（2，O）是它的一个顶点，且长轴是短轴的2倍，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的焦点在x轴，设直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于E、F两点，求四边形AEBF面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据A（2，O）是椭圆的一个顶点，结合椭圆的长轴是短轴的2倍，分椭圆的焦点在x轴上和椭圆的焦点在y轴上两种情况，分别求出对应的a，b值，可得椭圆的标准方程；
（2）由（1）可得椭圆的标准方程，由题设可知|BO|和|AO|的值，设y₁=kx₁，y₂=kx₂，进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值．

解答：解：（1）若椭圆的焦点在x轴上，由A（2，O）是它的一个顶点，
则a=2，
又∵椭圆的长轴是短轴的2倍，
故此时b=1
此时椭圆的标准方程为：

x2

4

+y2=1
若椭圆的焦点在y轴上，由A（2，O）是它的一个顶点，
则b=2，
又∵椭圆的长轴是短轴的2倍，
故此时a=4
此时椭圆的标准方程为：

x2

4

+

y2

16

=1
（2）由（1）得椭圆的标准方程为：

x2

4

+y2=1
则|BO|=1，|AO|=2．
设y₁=kx₁，y₂=kx₂，由①得x₂＞0，y₂=-y₁＞0，
故四边形AEBF的面积为S=S_△BEF+S_△AEF=x₂+2y₂
=

(x2+2y2)2

=

2x22+4y22+4x2y2

≤

2(x22+4y22)

=2

2

，
当x₂=2y₂时，上式取等号．所以S的最大值为2

2

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大．