Question

已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数．

（1）若函数g（x）在x=1处有极值，求g（x）的解析式；

（2）若函数g（x）在区间[﹣1，1]上为增函数，且b²﹣mb+4≥g（x）在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：

利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；直线的斜率．

专题：

计算题．

分析：

（1）先求出斜率为3的切线方程，根据两条切线间的距离求出a值，再讨论满足g′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，求出b即可．

（2）欲使函数g（x）在区间[﹣1，1]上为增函数只需转化成g′（x）≥0在区间[﹣1，1]上恒成立，求出b的范围，根据g（x）在x∈[﹣1，1]是增函数知g（x）的最大值为g（1），只需使b²﹣mb+4≥g（1）恒成立即可．

解答：

解：（1）∵，

∴由=3得x=±a，

即切点坐标为（a，a），（﹣a，﹣a）

∴切线方程为y﹣a=3（x﹣a），或y+a=3（x+a）（2分）

整理得3x﹣y﹣2a=0或3x﹣y+2a=0

∴，

解得a=±1，

∴f（x）=x³．

∴g（x）=x³﹣3bx+3（4分）

∵g′（x）=3x²﹣3b，g（x）在x=1处有极值，

∴g′（1）=0，

即3×1²﹣3b=0，解得b=1

∴g（x）=x³﹣3x+3（6分）

（2）∵函数g（x）在区间[﹣1，1]上为增函数，

∴g′（x）=3x²﹣3b≥0在区间[﹣1，1]上恒成立，

∴b≤0，

又∵b²﹣mb+4≥g（x）在区间[﹣1，1]上恒成立，

∴b²﹣mb+4≥g（1）（8分）

即b²﹣mb+4≥4﹣3b，若b=0，则不等式显然成立，若b≠0，

则m≥b+3在b∈（﹣∞，0）上恒成立

∴m≥3．

故m的取值范围是[3，+∞）

点评：

本题主要考查了利用导数研究函数极值，以及函数恒成立问题和利用待定系数法求解析式，属于基础题．