Question

3．设锐角三角形ABC的三内角为A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-cos²x．
（Ⅰ）求f（A）的取值范围；
（Ⅱ）若f（A）=$\frac{1}{4}$，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$．结合A的范围及正弦函数的图象和性质即可得解．
（Ⅱ）由已知及（1）可求A，bc=1，利用余弦定理及向量的数量积可得$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=c${\;}^{2}-\frac{1}{2}$．由$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{c}^{2}＞{b}^{2}}\\{{a}^{2}+{b}^{2}＞{c}^{2}}\end{array}\right.$，又a²=b²+c²-1，可求$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}＞\frac{1}{2}}\\{{c}^{2}＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，从而解得范围．

解答 （本题满分为15分）
解：（Ⅰ）f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-cos²x=cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）-$\frac{1+cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$（1+cos2x）-$\frac{1+cos2x}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1}{4}$cos2x-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$．--------------------------（4分）
因为是锐角三角形，所以A$∈（0，\frac{π}{2}）$，所以2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
所以sin（2A-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，所以f（A）∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$]；----（7分）
（Ⅱ）因为f（A）=$\frac{1}{4}$，所以sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，又因为2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
所以2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{3}$．--------------------（8分）
又△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$，所以bc=1．-------------------（9分）
$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=accosB=ac×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA+{c}^{2}-{b}^{2}}{2}$=c${\;}^{2}-\frac{1}{2}$．---------（11分）
因为△ABC为锐角三角形，所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{c}^{2}＞{b}^{2}}\\{{a}^{2}+{b}^{2}＞{c}^{2}}\end{array}\right.$----------（12分）
又a²=b²+c²-1，所以$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}＞\frac{1}{2}}\\{{c}^{2}＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
又bc=1，所以$\frac{1}{2}＜{c}^{2}＜2$，---------（14分）
故$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范围是（0，$\frac{3}{2}$）．------------（15分）
（其它方法请酌情给分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变化的应用，考查了正弦定理，余弦定理，向量的数量积的运算等知识的综合应用，考查了正弦函数的图象和性质，综合性强，属于基本知识的考查．