Question

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，A是椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左顶点，过点P（2，-1）任意作一条直线l与椭圆G交于C，D，记直线AC，AD的斜率分别为k₁，k₂，则$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$的值为-4．

Answer 1

分析 直线AC：y=k₁（x+2），与$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1联立得C（$\frac{2-8{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$），同理得D（$\frac{2-8{{k}_{2}}^{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$，$\frac{4{k}_{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$），由C，D，P三点共线得：k_CP=k_DP，由此可得$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$．

解答 解：设直线AC：y=k₁（x+2），与$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1联立
得C（$\frac{2-8{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$），
同理得D（$\frac{2-8{{k}_{2}}^{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$，$\frac{4{k}_{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$）
由C，D，P三点共线得：k_CP=k_DP，得$\frac{\frac{4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}+1}{\frac{2-8{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}-2}$=$\frac{\frac{4{k}_{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}+1}{\frac{2-8{{k}_{2}}^{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}-2}$，
∴$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$=-4．
故答案为：-4．

点评 本题考查两直线的斜率的倒数和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．