Question

为迎接国庆60周年，美化城市，某市将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，如图所示．要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|=3米，|AD|=2米．
（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）若AN的长度不小于6米，则当AM、AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设AN的长为x米，则矩形AMPN的面积S_AMPN可表示为x的函数，令S_AMPN＞32即可求得x的范围．
（Ⅱ）利用导数即可求得当x≥6时函数的最小值及相应的x值．

解答：解：设AN的长为x米（x＞2）
∵

|DN|

|AN|

=

|DC|

|AM|

，∴|AM|=

3x

x-2

∴SAMPN=|AN|•|AM|=

3x2

x-2

（I）由S_AMPN＞32得

3x2

x-2

＞32，
∵x＞2，∴3x²-32x+64＞0，即（3x-8）（x-8）＞0
∴2＜x＜

8

3

或x＞8．
答：要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN长的取值范围是(2，

8

3

)∪(8，+∞)．
（Ⅱ）令y=

3x2

x-2

，则y′=

6x(x-2)-3x2

(x-2)2

=

3x(x-4)

(x-2)2

，
当x＞4时，y′＞0，∴函数y=

3x2

x-2

在（4，+∞）上单调递增，∴函数y=

3x2

x-2

在[6，+∞)上也单调递增．
∴当x=6时，y=

3x2

x-2

取得最小值27，即S_AMPN取得最小值27（平方米）．
此时|AN|=6米，|AM|=4.5米
答：当AM、AN的长度分别是4.5米，6米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积是27平方米．

点评：本题考查了根据实际问题建立数学函数模型、利用导数研究函数单调性及求最值问题．实际问题要注意答．