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14.如图,矩形ABCD中,AB=1,BC=2,半圆O以BC为直径,平面ABCD垂直于半圆O所在的平面,P为半圆周上任意一点(与B、C不重合).
(1)求证:平面PAC⊥平面PAB;
(2)若P为半圆周中点,求此时二面角P-AC-D的余弦值.

分析 (1)根据面面垂直的判定定理证明PC⊥面PAB即可证明平面PAC⊥平面PAB;
(2)连接OP,作OE垂直BC,建立以O为坐标原点的空间直角坐标系如图:求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可二面角P-AC-D的余弦值.

解答 证明:(1)∵半圆O以BC为直径,
∴PC⊥PB,
∵平面ABCD垂直于半圆O所在的平面,ABCD是矩形,
∴AB⊥底面BPC,则AB⊥PC,
∵AB∩BP=B,
∴PC⊥面PAB,
∵PC?平面PAC,
∴平面PAC⊥平面PAB,
(2)连接OP,作OE垂直BC,建立以O为坐标原点,OP,OE,OC分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:
则P(1,0,0),C(0,1,0),D(0,1,1),A(0,-1,1)
$\overrightarrow{PA}$=(-1,-1,1),$\overrightarrow{PC}$=(-1,1,0),
则平面ACD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=(1,0,0),
设$\overrightarrow{m}$=(x,y,z)是平面PAC的法向量,
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-x-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-x+y=0}\end{array}\right.$,
令x=1,则y=1,z=2,即$\overrightarrow{m}$=(1,1,2),
cos<$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+1+4}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$,
∵二面角P-AC-D是钝二面角,
∴二面角P-AC-D的余弦值是-$\frac{\sqrt{6}}{6}$.

点评 本题主要考查空间面面垂直的判断以及空间二面角的求解,建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法是解决二面角常用的方法.

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(2)据此估计2012年该城市人口总数.
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