Question

【题目】已知函数 的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c是正实数，且a+b+c=m，求证：2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意，函数 = ，

分析可得f（x）min=f（ ）=1，

即m=1；

（2）解：证明：由（1）可得a+b+c=1，

由于（a3+b3）﹣a2b﹣ab2=（a2﹣b2）（a﹣b）=（a﹣b）2（a+b），

又由a，b，c是正实数，

则有（a3+b3）﹣a2b﹣ab2=（a﹣b）2（a+b）≥0，

即a3+b3≥a2b+ab2=ab（a+b）=ab（1﹣c）=ab﹣abc，①

同理可得：b3+c3≥bc﹣abc，②

a3+c3≥ac﹣abc，③

①+②+③可得：2（a3+b3+c3）≥ab+bc+ca﹣3abc

【解析】（1）根据题意，将f（x）的解析式写成分段函数的形式可得f（x）= ，结合函数的单调性分析可得f（x）min=f（ ）=1，即可得m的值；（2）先用作差法证明a3+b3≥a2b+ab2 ， 再结合基本不等式分析可得a3+b3≥a2b+ab2=ab（a+b）=ab（1﹣c）=ab﹣abc，①；同理可以证明b3+c3≥bc﹣abc，②和a3+c3≥ac﹣abc，②；将三个式子相加即可得答案．
【考点精析】认真审题，首先需要了解不等式的证明(不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等)．