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如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是边长为2的正方形,E是A1B的中点,F在棱CC1上.
(1)当C1F=
12
CF时,求三棱锥F-A1BC的体积.
(2)当点F使得A1F+BF最小时,判断直线AE与A1F是否垂直,并证明结论.
分析:(1)根据等积法,可得三棱锥F-A1BC的体积VF-A1BC=VA1-FBC,根据已知中的数据,代入棱锥体积公式,可得答案.
(2)解法1:将侧面BCC1B1展开到侧面A1ACC1得到矩形ABB1A1,连结A1B,交C1C于点F,此时点F使得A1F+BF最小.此时F为C1C的中点.连接EF、AF,综合勾股定理,线面垂直的判定定理及性质,可得结论.
解法2:将侧面BCC1B1展开到侧面A1ACC1得到矩形ABB1A1,连结A1B,交C1C于点F,此时点F使得A1F+BF最小.此时FC平行且等于A1A的一半,过点C作CG⊥AB交AB于G,连接EF,
进而由线面垂直的判定定理及性质,可得结论.
解答:解:(1)因为侧面AA1C1C是边长为2的正方形,
∴AC=CC1=2
∴BC=2
又∵C1F=
1
2
CF∴CF=
4
3

VF-A1BC=VA1-FBC=
1
3
×
1
2
×2×
4
3
×
3
2
×2=
4
3
9
-------(5分)
(2)解法1:将侧面BCC1B1展开到侧面A1ACC1得到矩形ABB1A1
连结A1B,交C1C于点F,此时点F使得A1F+BF最小.此时F为C1C的中点.-----------(7分)
连接EF、AF
在Rt△A1AB中,AA1=AB=2得AE=
2

在Rt△AFC中,AC=2,FC=1得AF=
5

在等腰△A1FB中,A1F=BF=
5
EF=
3

所以由AE=
2
AF=
5
EF=
3
得AE2+EF2=AF2
有勾股定理知AE⊥EF
AE⊥AF
AE⊥A1B
A1F∩EF=F
?AE⊥面A1FB?AE⊥A1F
-----------------(12分)
解法2(参考给分):将侧面BCC1B1展开到侧面A1ACC1得到矩形ABB1A1
连结A1B,交C1C于点F,
此时点F使得A1F+BF最小.此时FC平行且等于A1A的一半,
∴F为C1C的中点.
过点C作CG⊥AB交AB于G,连接EF,
由FC∥EG且FC=EG知四边形EGCF为平行四边形
所以EF∥CG.
在正三棱柱ABC-A1B1C1中知CG⊥面A1AB,而EF∥CG,
所以EF⊥面A1AB.
∴AE⊥EF
AE⊥AF
AE⊥A1B
A1F∩EF=F
?AE⊥面A1FB?AE⊥A1F
点评:本题考查的知识点是棱锥的体积公式,空间线面关系的判定,(1)的关键是利用等积法进行转化,(2)的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理及性质
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A、2
B、
3
C、
5
D、
7

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