Question

已知函数f（x）=e^x-1-x．
（1）求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若存在x∈[-1，ln

4

3

]，使a-e^x+1+x＜0成立，求a的取值范围；
（3）当x≥0时，f（x）≥tx²恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知知函数f（x）=e^x-1-x，对其求导，把x=1代入f′（x）求点在x=1处的斜率，从而求解；
（2）已知要使a-e^x+1+x＜0成立，则a＜e^x-1-x，即a＜f（x），对f（x）求导，令f′（x）=0，求出f（x）的单调区间，只要求出f（x）的最大值即可；
（3）已知得x≥0时，e^x-x-1-tx²≥0恒成立，设g（x）=e^x-x-1-tx²，对g（x）求导，求出当x≥0时，g（x）的最小值大于0，即可求出t的范围．

解答：解（1）∵函数f（x）=e^x-1-x．
f′（x）=e^x-1，f（1）=e-2，f′（1）=e-1．
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-e+2=（e-1）（x-1），
即y=（e-1）x-1．（3分）
（2）a＜e^x-1-x，即a＜f（x）．
令f′（x）=e^x-1=0，x=0．
∵x＞0时，f′（x）＞0，x＜0时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，0）上减，在（0，+∞）上增．
又x0∈[-1，ln

4

3

]时，
∴f（x）的最大值在区间端点处取到，
f(-1)=e-1-1+1=

1

e

，f(ln

4

3

)=

4

3

-1-ln

4

3

，f(-1)-f(ln

4

3

)=

1

e

-

4

3

+1+ln

4

3

=

1

e

-

1

3

+ln

4

3

＞0，
∴f(-1)＞f(ln

4

3

)，
∴f（x）在[-1，ln

4

3

]上最大值为

1

e

，
故a的取值范围是a＜

1

e

，（8分）
（3）由已知得x≥0时，e^x-x-1-tx²≥0恒成立，
设g（x）=e^x-x-1-tx²．
∴g′（x）=e^x-1-2tx．
由（2）知e^x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立，
故g′（x）≥x-2tx=（1-2t）x，从而当1-2t≥0，
即t≤

1

2

时，g′（x）≥0（x≥0），
∴g（x）为增函数，又g（0）=0，
于是当x≥0时，g（x）≥0，即f（x）≥tx²，
∴t≤

1

2

时符合题意．（11分）
由e^x＞1+x（x≠0）可得e^-x＞1-x（x≠0），从而当t＞

1

2

时，g′（x）＜e^x-1+2t（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2t），
故当x∈（0，ln2t）时，g′（x）＜0，
∴g（x）为减函数，又g（0）=0，
于是当x∈（0，ln2t）时，g（x）＜0，即f（x）≤tx²，
故t＞

1

2

，不符合题意．综上可得t的取值范围为(-∞，

1

2

]（14分）

点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，难度一般，掌握运用数学知识分析问题解决问题的能力．