Question

4．设等比数列{a_n}的前n项和S_n，已知${a_3}=\frac{1}{8}$，且${S_2}+\frac{1}{16}，{S_3}，{S_4}$成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}={a_n}{log_{\frac{1}{2}}}{a_n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵${S_2}+\frac{1}{16}，{S_3}，{S_4}$成等差数列，
∴$2{S_3}={S_2}+\frac{1}{16}+{S_4}$，即：${a_3}={a_4}+\frac{1}{16}$，
∵${a_3}=\frac{1}{8}$，∴${a_4}=\frac{1}{16}$，
∴$q=\frac{a_4}{a_3}=\frac{1}{2}$，${a_1}=\frac{a_3}{q^2}=\frac{1}{2}$，
∴${a_n}=\frac{1}{2}×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}={（\frac{1}{2}）^n}$．
（Ⅱ）${b_n}={a_n}{log_{\frac{1}{2}}}{a_n}=n{（\frac{1}{2}）^n}$
∴${T_n}=1×\frac{1}{2}+2×\frac{1}{2^2}+3×\frac{1}{2^3}+…+n•\frac{1}{2^n}$，
$\frac{1}{2}{T_n}=1×\frac{1}{2^2}+2×\frac{1}{2^3}+3×\frac{1}{2^4}+…+n•\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}$，
∴${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．