Question

7．已知函数$f（x）=blnx-\frac{x^2}{{2{e^2}}}+a$（其中a∈R，无理数e=2.71828…）．当x=e时，函数f（x）有极大值$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）任取x₁，${x_2}∈[{e，{e^2}}]$，证明：|f（x₁）-f（x₂）|＜3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，由题意可得f（e）=$\frac{1}{2}$，f′（e）=0，解方程可得a，b；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（Ⅲ）求出f（x）的导数，求得f（x）在[e，e²]上的最值，欲证明|f（x₁）-f（x₂）|＜3，只需证明|f（x）_max-f（x）_min|＜3，即可．

解答 解：（Ⅰ）函数$f（x）=blnx-\frac{x^2}{{2{e^2}}}+a$的导数为f′（x）=$\frac{b}{x}$-$\frac{x}{{e}^{2}}$，
由题意知$f′（e）=\frac{b}{e}-\frac{e}{e^2}=0$，$f（e）=blne-\frac{e^2}{{2{e^2}}}+a=\frac{1}{2}$，
解得a=0，b=1；
（Ⅱ）由题可知f（x）=lnx-$\frac{{x}^{2}}{2{e}^{2}}$的定义域为（0，+∞），
又$f′（x）=\frac{1}{x}-\frac{x}{e^2}=\frac{{{e^2}-{x^2}}}{{{e^2}x}}=\frac{（e+x）（e-x）}{{{e^2}x}}$，
由$\frac{（e+x）（e-x）}{{e}^{2}x}$＞0，解得0＜x＜e；
$\frac{（e+x）（e-x）}{{e}^{2}x}$＜0，解得x＞e．
故函数f（x）的单调增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．
（Ⅲ）证明：因为$f（x）=lnx-\frac{x^2}{{2{e^2}}}$，
由（Ⅱ）可知函数f（x）的单调递减区间为（e，+∞），
故f（x）在[e，e²]上单调递减，
∴$f{（x）_{max}}=f（e）=lne-\frac{e^2}{{2{e^2}}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
$f{（x）_{min}}=f（{e^2}）=ln{e^2}-\frac{e^4}{{2{e^2}}}=2-\frac{e^2}{2}$；
∴$f{（x）_{max}}-f{（x）_{min}}=\frac{1}{2}-（2-\frac{e^2}{2}）=\frac{{{e^2}-3}}{2}$，
∴|f（x）_max-f（x）_min|=$\frac{{e}^{2}-3}{2}$＜3①
依题意任取x₁，${x_2}∈[{e，{e^2}}]$，
欲证明|f（x₁）-f（x₂）|＜3，
只需证明|f（x）_max-f（x）_min|＜3，
由①可知此式成立，原命题得证．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．