Question

17．设三个数$\sqrt{{{（{x-1}）}^2}+{y^2}}$，2，$\sqrt{{{（{x+1}）}^2}+{y^2}}$成等差数列，其中（x，y）对应点的曲线方程是C．
（1）求C的标准方程；
（2）直线l₁：x-y+m=0与曲线C相交于不同两点M，N，且满足∠MON为钝角，其中O为直角坐标原点，求出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列列出方程转化为椭圆的定义，求解方程即可．
（2）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}x-y+m=0\\ \frac{x^2}{4}+{\frac{y}{3}^2}=1\end{array}\right.$消去y，通过△＞0，求出m²＜7，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）利用韦达定理．利用向量的数量积相遇0，求解m的范围即可．

解答 解：（1）、依题意：$\sqrt{{{（{x-1}）}^2}+{y^2}}+\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}=4$（1分）
所以点P（x，y）对应的曲线方程C是椭圆                           （2分）
2a=4，∴a=2．                                              （3分）
c=1   14分）
∴$a=2，c=1，b=\sqrt{3}$（5分）
C的标准方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$（6分）
（2）、联立方程组$\left\{\begin{array}{l}x-y+m=0\\ \frac{x^2}{4}+{\frac{y}{3}^2}=1\end{array}\right.$，且m≠0
消去y，得7x²+8mx+4m²-12=0（7分），
△=64m²-28（4m²-12）=336-48m²＞0（8分）
∴m²＜7，且m≠0（9分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
得${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{7}$（10分）
可计算${y_1}{y_2}=\frac{{3{m^2}-12}}{7}$（11分）
由∠MON为钝角，则$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}＜0$，x₁x₂+y₁y₂＜0，
$\frac{{4{m^2}-12}}{7}+\frac{{3{m^2}-12}}{7}＜0$（12分）
所以${m^2}＜\frac{24}{7}$（13分）
∴m的取值范围$-\frac{{2\sqrt{42}}}{7}＜m＜\frac{{2\sqrt{42}}}{7}$且m≠0（14分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的综合应用，向量的综合应用，考查分析问题的能力，转化思想的应用．