Question

20、设S_n是数列{a_n}（n∈N^*）的前n项和，a₁=a，且S_n²=3n²a_n+S_n-1²，a_n≠0，n=2，3，4，…．
（1）证明数列{a_n+2-a_n}（n≥2）是常数数列；
（2）试找出一个奇数a，使以18为首项，7为公比的等比数列{b_n}（n∈N^*）中的所有项都是数列{a_n}中的项，并指出b_n是数列{a_n}中的第几项．

Answer 1

分析：（1）由已知得S_n+S_n-1=3n²，S_n+1+S_n=3（n+1）²．所以a_n+1+a_n=6n+3．由此能够推导出数列{a_n+2-a_n}（n≥2）是常数数列．
（2）由题设条件知a₂=12-2a．a₃=3+2a，数列{a_2k}和{a_2k+1}分别是以a₂，a₃为首项，6为公差的等差数列．由此能够推导出b_n是数列{a_n}中的第6×7^n-1项．

解答：解：（1）当n≥2时，由已知得S_n²-S_n-1²=3n²a_n．
因为a_n=S_n-S_n-1≠0，所以S_n+S_n-1=3n²．①
于是S_n+1+S_n=3（n+1）²．②
由②-①得：a_n+1+a_n=6n+3．③
于是a_n+2+a_n+1=6n+9．④
由④-③得：a_n+2-a_n=6．⑤
即数列{a_n+2-a_n}（n≥2）是常数数列．
（2）由①有S₂+S₁=12，所以a₂=12-2a．
由③有a₃+a₂=15，所以a₃=3+2a，
而⑤表明：数列{a_2k}和{a_2k+1}分别是以a₂，a₃为首项，6为公差的等差数列．
所以a_2k=a₂+（k-1）×6=6k-2a+6，a_2k+1=a₃+（k-1）×6=6k+2a-3，k∈N*．
由题设知，b_n=18×7^n-1．当a为奇数时，a_2k+1为奇数，而b_n为偶数，
所以b_n不是数列{a_2k+1}中的项，b_n只可能是数列{a_2k}中的项．
若b₁=18是数列{a_2k}中的第k₀项，
由18=6k₀-2a+6得a=3k₀-6，取k₀=3，得a=3．
此时a_2k=6k，由b_n=a_2k得18×7^n-1=6k，k=3×7^n-1∈N*，
从而b_n是数列{a_n}中的第6×7^n-1项．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．