Question

【题目】四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为的中点，平面平面，为上一点，平面.

（1）求证：平面平面；

（2）若与底面所成的角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）通过线面平行，推证出点的位置，再结合面面垂直，推证出平面，即可由线面垂直推证面面垂直；

（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，由线面角求得长度，进而再由向量法求得二面角的大小即可.

（1）连交于，连，如下图所示：

因为平面，平面，平面平面，

所以，又为中点，

所以为中点，由≌，

∴

∴为中点，

∵，且，则为平行四边形，

∵

∴，又平面，

平面⊥平面，平面∩平面，

故⊥平面，又平面，

所以平面⊥平面.即证.

（2）连接，

∵，为AD的中点，∴，

又平面，平面⊥平面，平面∩平面，

∴底面，又，

以分别为轴建立空间直角坐标系.

设，取平面的法向量，

又，

∴

∴，

设平面EBF的法向量所以

即可得

令

设二面角的平面角为

∴，又为钝角

∴ ，

所以二面角的余弦值为.