Question

设函数f（x）定义在R上，对于任意实数m、n，恒有f(m+n)=f(m)?f(n)，且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；
（2）设集合A={(x，y)|f(x2)?f(y2)＞f(1)}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令m=1，n=0，可求得f（1）=f（1）•f（0），依题意，当x＞0时，0＜f（x）＜1即可证得f（0）=1，再令m=x，n=-x，结合当x＜0时，f（x）＞1即可证得当x＜0时，f（x）＞1；
（2）先利用函数的单调性的定义判断函数f（x）在R上是单调递减的，再理清集合A与集合B表示的点集，最后由A∩B=∅，利用图形间的几何意义可求a的取值范围．

解答：解：（1）令m=1，n=0，得f（1）=f（1）•f（0）
又当x＞0时，0＜f（x）＜1，所以f（0）=1
设x＜0，则-x＞0
令m=x，n=-x，则f（0）=f（x）•f（-x）
所以f（x）•f（-x）=1
又0＜f（-x）＜1，所以f（x）=

1

f(-x)

＞1
（2）设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0
所以0＜f（x₂-x₁）＜1，从而f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）•f（x₁），
又由已知条件及（1）的结论知f（x）＞0恒成立
所以

f(x2)

f(x1)

=f（x₂-x₁），所以0＜

f(x2)

f(x1)

＜1，
所以f（x₂）＜f（x₁），故f（x）在R上是单调递减的．
由f（x²）•f（y²）＞f（1）得：f（x²+y²）＞f（1），
因为f（x）在R上单调递减，所以x²+y²＜1，即A表示圆x²+y²=1的内部，
由f（ax-y+2）=1=f（0）得：ax-y+2=0
所以B表示直线ax-y+2=0，
所以A∩B=∅，所以直线与圆相切或相离，即

2

1+a2

≥1
解得：-

3

≤a≤

3

．

点评：本题考查抽象函数及其应用，突出考查函数的单调性的定义判断及集合A与集合B表示的点集的几何意义，考查直线与圆的位置关系，考查转化思想与运算能力，属于难题．