Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=

f(x)-f2(x)

+

1

2

，f（1）=1，已知a_n=f²（n）-f（n），则数列{a_n}的前40项和

-195

．

Answer 1

分析：根据题中函数关系式化简整理，得到[f²（x+1）-f（x+1）]-[f²（x）-f（x）]=-

1

4

，结合题意算出a_n+1-a_n=-

1

4

，从而得到{a_n}构成公差d=-

1

4

的等差数列，由f（1）=1算出a₁=0，得到通项公式a_n=

1

4

（1-n），最后利用等差数列的前n项和公式即可算出数列{a_n}的前40项和．

解答：解：∵f（x+1）=

f(x)-f2(x)

+

1

2

，
∴f（x+1）-

1

2

=

f(x)-f2(x)

，
两边平方，得[f（x+1）-

1

2

]²=f（x）-f²（x）
化简得[f²（x+1）-f（x+1）]-[f²（x）-f（x）]=-

1

4

∵a_n=f²（n）-f（n），可得a_n+1=f²（n+1）-f（n+1），
∴a_n+1-a_n=[f²（n+1）-f（n+1）]-[f²（n）-f（n）]=-

1

4

，
可得{a_n}构成公差d=-

1

4

的等差数列
∵f（1）=1，得a₁=f²（1）-f（1）=0
∴{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=

1

4

（1-n）
因此，数列{a_n}的前40项和为S₄₀=

40(a1+a40)

2

=20×（-

39

4

）=-195
故答案为：-195

点评：本题给出函数关系式，在已知数列a_n=f²（n）-f（n）的情况下求数列的前n项和．着重考查了函数式的配方整理、数列递推关系，等差数列的通项公式与求和公式等知识，属于中档题．