【题目】已知a为正的常数,函数f(x)=|ax﹣x2|+lnx.
(1)若a=2,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)设g(x)= ,求g(x)在区间[1,e]上的最小值.(e≈2.71828为自然对数的底数)
【答案】
(1)解:a=2时,f(x)=|ax﹣x2|+lnx= ,
当0<x<2时,f′(x)= ,
令f′(x)>0时,解得0<x≤ ,
当x≥2时,f′(x)= ,
令f′(x)>0时,解得x≥2,
故函数的单调增区间是(0, ],[2,+∞)
(2)解:g(x)=|x﹣a|+ = ,
当a≥e时,则g(x)=a﹣x+ ,g′(x)=﹣1﹣ + = ,
令h(x)=﹣x2+1﹣lnx,则h′(x)=﹣2x﹣ <0
∴h(x)在[1,e]上为减函数,则h(x)≤h(1)=0.
∴g(x)在[1,e]上为减函数,得g(x)min=g(e)=a﹣e+ ;
当a≤1时,∵x∈[1,e],∴0≤lnx≤1,1﹣lnx≥0,x2+1﹣lnx≥0,∴g′(x)>0.
∴g(x)在[1,e]上为增函数,
∴g(x)min=g(1)=1﹣a.
当1<a<e时,g(x)在[1,a]上减,[a,e]上增,
g(x)min=g(a)=
综上所述:
【解析】(1)把a=2代入函数解析式,由绝对值内的代数式等于0求得x的值,由解得的x的值把定义域分段,去绝对值后求导,利用导函数求每一段内的函数的增区间,则a=2时的函数的增区间可求;(2)把f(x)的解析式代入g(x)= ,利用a与1和e的大小比较去绝对值,然后求出去绝对值后的函数的导函数,利用函数的单调性求出函数在区间[1,e]上的最小值.最后把求得的函数的最小值写成分段函数的形式即可.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知向量 =( ,﹣ ), =(sinx,cosx),x∈(0, ).
(1)若 ⊥ ,求tanx的值;
(2)若 与 的夹角为 ,求x的值.
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【题目】已知椭圆: 的短轴长为,右焦点为,点是椭圆上异于左、右顶点的一点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与直线交于点,线段的中点为,证明:点关于直线的对称点在直线上.
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【题目】已知a>0,b>0,且a2+b2= ,若a+b≤m恒成立, (Ⅰ)求m的最小值;
(Ⅱ)若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a,b恒成立,求实数x的取值范围.
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【题目】(本小题满分13分)
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试,一种通常采用的测试方法如下:拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序;经过一段时间,等其记忆淡忘之后,再让其品尝这瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮测试。根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。
现设,分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号,并令
,
则是对两次排序的偏离程度的一种描述。
(Ⅰ)写出的可能值集合;
(Ⅱ)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列,求的分布列;
(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有,
(i)试按(Ⅱ)中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立);
(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何?说明理由。
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