精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
三棱柱ABC-A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中,已知AB=2,AC=4,A1A=3.D是BC的中点.

(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;
(2)求二面角B1-A1D-C1的正弦值.
(1)(2)
(1)由题意,A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),D(1,2,0),A1(0,0,3),B1(2,0,3),C1(0,4,3).=(1,2,-3),=(0,4,0).
设平面A1C1D的一个法向量为n=(x,y,z).
n·=x+2y-3z=0,n·=4y=0.
∴x=3z,y=0.令z=1,得x=3.n=(3,0,1).
设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ,
=(1,-2,3),
∴sinθ=|cos〈·n〉|=.
(2)设平面A1B1D的一个法向量为m=(a,b,c).
=(2,0,0),∵m·=a+2b-3c=0,m·=2a=0,
∴a=0,2b=3c.令c=2,得b=3.m=(0,3,2).
设二面角B1A1DC1的大小为α,
∴|cosα|=cos|〈mn|,则sinα=.
∴二面角B1A1DC1的正弦值为.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,边长为1的正三角形所在平面与直角梯形所在平面垂直,且分别是线段的中点.

(1)求证:平面平面
(2)求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知三棱柱平面,四边形为正方形,分别为中点.
(1)求证:∥面
(2)求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,是以为直径的半圆上异于的点,矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面,且

(1)求证:
(2)若异面直线所成的角为,求平面和平面所成的锐二面角的余弦值。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=a,E,F分别为AD,CD的中点.

(1)若AC1⊥D1F,求a的值;
(2)若a=2,求二面角E-FD1-D的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图所示.

(1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD.
(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A-BC-D的正切值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图几何体中,四边形为矩形,.

(1)若的中点,证明:
(2)求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量为a=(-2,-3,3),则l与α所成角的正弦值为________.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若abc,则=________.

查看答案和解析>>

同步练习册答案