Question

【题目】已知函数，．

（Ⅰ）当a＝2时，求（x）在x∈[1，e2]时的最值（参考数据：e2≈7.4）；

（Ⅱ）若，有f（x）＋g（x）≤0恒成立，求实数a的值；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f（x）max＝2ln2，；（Ⅱ）a＝1．

【解析】试题分析：

(1)利用导函数与原函数的单调性可得函数的最大值为f（x）max＝f（2）＝2ln2；

(2)构造新函数h（x）＝f（x）＋g（x）＝alnx－x＋1，利用函数的特征分类讨论可得a＝1．

试题解析：

（Ⅰ）由于，∴．

因此，函数f（x）在[1，2]为增函数，在[2，e2]为减函数．

所以f（x）max＝f（2）＝2ln2．

．

（Ⅱ）令h（x）＝f（x）＋g（x）＝alnx－x＋1，则，

（1）当a≤0时，h（x）在（0，＋∞）上为减函数，而h（1）＝0，

∴h（x）≤0在区间x∈（0，＋∞）上不可能恒成立，因此a≤0不满足条件．

（2）当a＞0时，h（x）在（0，a）上递增，在（a，＋∞）上递减，所以

h（x）max＝h（a）＝alna－a＋1．

由于h（x）≤0在x∈（0，＋∞）恒成立，则h（x）max≤0．即alna－a＋1≤0．

令g（a）＝alna－a＋1，（a＞0），则g'（a）＝lna，∴g（a）在（0，1）上递减，在（1，＋∞）上递增，∴g（a）min＝g（1）＝0，故a＝1．