Question

（2011•钟祥市模拟）已知：a₁＜a₂＜a₃，b₁＜b₂＜b₃，a₁+a₂+a₃=b₁+b₂+b₃，a₁a₂+a₁a₃+a₂a₃=b₁b₂+b₁b₃+b₂b₃且a₁＜b₁，有下列四个命题
（1）b₂＜a₂；     （2）a₃＜b₃； （3）a₁a₂a₃＜b₁b₂b₃；  （4）（1-a₁）（1-a₂）（1-a₃）＞（1-b₁）（1-b₂）（1-b₃）．
其中真命题个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：设 b₁-a₁=t₁，b₂-a₂=t₂，b₃-a₃=t₃，由题意得 t₁+t₂+t₃=0，t₁＞0．再由条件得到 a₁²+a₂²+a₃²=b₁²+b₂²+b₃²，a₁+b₁＜a₂+b₂＜a₃+b₃．从而得到 t₃点处于0点右侧，t₂ 处于0点左侧，t₁＞0，t₂＜0，t₃＞0．故得 b₂＜a₂ ，a₃＜b₃，由于（3）、（4）选项是等价的，将b₁-a₁=t₁，b₂-a₂=t₂，b₃-a₃=t₃代入题目条件，化简即可得出 a₁a₂a₃＜b₁b₂b₃，故选项（3）为真命题，此题目真命题为（1）、（2）、（3）、（4），进而得出结论．

解答：解：设 b₁-a₁=t₁，b₂-a₂=t₂，b₃-a₃=t₃，由条件1，可得 t₁+t₂+t₃=0．
因已知 a₁＜b₁ ，则t₁＞0，且t₂、t₃中至少有一个小于零．
则可根据此在一维坐标上作点，设原点为0，右向为x轴正向，则t₁处于0点右侧，此时，t₂ 、t₃点的位置有三种情况，分别为：
①t₂处于0点右侧，t₃处于0点左侧，则|t₃|=-t₃=t₁+t₂＞0；
②t₃点处于0点右侧，t₂ 处于0点左侧，则|t₂|=-t₂=t₁+t₃＞0；
③t₂点与t₃点同时处于0点左侧，则|t₁|=t₁=|t₂+t₃|=-t₂+t₃＞0；
结合题目中所给出的条件，可得 a₁²+a₂²+a₃²=b₁²+b₂²+b₃²，对上式进行处理得：（ a₁+b₁）t₁+（a₂+b₂）t₂+（a₃+b₃）t₃=0．
由已知条件1可得：a₁+b₁＜a₂+b₂＜a₃+b₃．
结合前述的一维图可判断出只有第  ②情况才符合，即：t₃点处于0点右侧，t₂ 处于0点左侧，t₁＞0，t₂＜0，t₃＞0．
因此，可得出 b₂＜a₂，a₃＜b₃ ．
再对题目的（3）、（4）选项分析，可得出，（3）、（4）选项是等价的． 因此我们只需要判断第（3）选项是否正确即可．
判断方法：将b₁-a₁=t₁，b₂-a₂=t₂，b₃-a₃=t₃代入题目条件，化简即可得出 a₁a₂a₃＜b₁b₂b₃，故选项（3）为真命题．
总结：此题目真命题为（1）、（2）、（3）、（4）．
故选D．

点评：本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，体现了分类讨论的数学思想．