Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁，F₂，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=

4

3

，|PF2|=

14

3

.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于A，B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．

Answer 1

分析：解：（Ⅰ）由题意可知2a=|PF₁|+|PF₂|=6，a=3，|F1F2|=

|PF2|2-|PF1|2

=2

5

，由此可求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）解法一：设A，B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0．因为A，B关于点M对称．所以

x1+x2

2

=-

18k2+9k

4+9k2

=-2.解得k=

8

9

，由此可求出直线l的方程．
（Ⅱ）解法二：设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．由题意x₁≠x₂且

x12

9

+

y12

4

=1，①

x22

9

+

y22

4

=1，②
由①-②得

(x1-x2)(x1+x2)

9

+

(y1-y2)(y1+y2)

4

=0.③因为A、B关于点M对称，所以x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，代入③得直线l的斜率为

8

9

，由此可求出直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF₁|+|PF₂|=6，a=3．
在Rt△PF₁F₂中，|F1F2|=

|PF2|2-|PF1|2

=2

5

，
故椭圆的半焦距c=

5

，
从而b²=a²-c²=4，
所以椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）解法一：
设A，B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．
已知圆的方程为（x+2）²+（y-1）²=5，
所以圆心M的坐标为（-2，1）．
从而可设直线l的方程为
y=k（x+2）+1，
代入椭圆C的方程得
（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0．
因为A，B关于点M对称．
所以

x1+x2

2

=-

18k2+9k

4+9k2

=-2.
解得k=

8

9

，
所以直线l的方程为y=

8

9

(x+2)+1，
即8x-9y+25=0．
（经检验，所求直线方程符合题意）
（Ⅱ）解法二：
已知圆的方程为（x+2）²+（y-1）²=5，
所以圆心M的坐标为（-2，1）．
设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由题意x₁≠x₂且

x12

9

+

y12

4

=1，①

x22

9

+

y22

4

=1，②
由①-②得

(x1-x2)(x1+x2)

9

+

(y1-y2)(y1+y2)

4

=0.③
因为A、B关于点M对称，
所以x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，
代入③得

y1-y2

x1-x2

=

8

9

，
即直线l的斜率为

8

9

，
所以直线l的方程为y-1=

8

9

（x+2），
即8x-9y+25=0．
（经检验，所求直线方程符合题意．）

点评：本题综合考查直线和圆、椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解题，避免错误．