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已知函数数学公式,设数列{an}同时满足下列两个条件:①数学公式;②an+1=f'(an+1).
(Ⅰ)试用an表示an+1
(Ⅱ)记数学公式,若数列{bn}是递减数列,求a1的取值范围.

解:(Ⅰ)求导函数
∵an+1=f'(an+1),∴
(Ⅱ)
令a4<a2,得,∴(2a2+1)(a2-2)>0,
∵a2>0,∴a2>2,则,得0<a1<2.
以下证明:当0<a1<2时,a2n+2<a2n,且a2n>2.
①当n=1时,0<a1<2,则
=,∴a4<a2
②假设n=k(k∈N*)时命题成立,即a2k+2<a2k,且a2k>2,
当n=k+1时,
∴a2k+4<a2k+2,即n=k+1时命题成立,
综合①②,对于任意n∈N*,a2n+2<a2n,且a2n>2,从而数列{bn}是递减数列.
∴a1的取值范围为(0,2).
说明:数学归纳法第②步也可用下面方法证明:
分析:(Ⅰ)求导函数,利用an+1=f'(an+1),可用an表示an+1
(Ⅱ)先通过特殊性,猜想0<a1<2,再用数学归纳法进行证明.
点评:本题考查数列递推式,考查求参数的范围,解题的关键是先猜后证,属于中档题.
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x+1-aa-x
,a∈R
.利用函数y=f(x)构造一个数列{xn},方法如下:对于定义域中给定的x1,令x2=f(x1),x3=f(x2),…,xn=f(xn-1)(n∈N*),…如果取定义域中任一值作为x1,都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}.
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(3)设Tn=(x1+1)(x2+1)…(xn+1)(n∈N*),试问:是否存在n使得Tn+Tn+1+…+Tn+2006=2006成立,若存在,试确定n及相应的x1的值;若不存在,请说明理由?

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2
x
1-x
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(1)若x1+x2=1,求证:y1+y2为定值;
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1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*且n≥2,求Tn关于n的解析式;
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1
a1
)(1-
1
a2
)
(1-
1
an
)<
sinα
2n+1
对一切n∈N*都成立?若存在,求出角α的取值范围;若不存在,请说明理由.

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