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4.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,例如解析式为y=2x2+1,值域为{9}的“孪生函数”就有三个,那么解析式为y=log2(x2-1),值域为{1,5}的“孪生函数”共有(  )
A.6个B.7个C.8个D.9个

分析 先确定函数的自变量是在集合{$\sqrt{3}$},{-$\sqrt{3}$},{-$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$}取其一,再在{$\sqrt{33}$},{-$\sqrt{33}$},{-$\sqrt{33}$,$\sqrt{33}$}取其一合并而成,故有9中可能.

解答 解:根据题意,因为函数y=f(x)=log2(x2-1)的值域为{1,5},
则对于各函数值考察如下:
①令log2(x2-1)=1,解得x=±$\sqrt{3}$,
所以,函数的定义域中对于±$\sqrt{3}$有下列三种可能,
{$\sqrt{3}$},{-$\sqrt{3}$},{-$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$};
②令log2(x2-1)=5,解得x=±$\sqrt{33}$,
所以,函数的定义域中对于±$\sqrt{33}$有下列三种可能,
{$\sqrt{33}$},{-$\sqrt{33}$},{-$\sqrt{33}$,$\sqrt{33}$};
而函数f(x)的定义域是在①,②中各取一个集合,再取并集而构成,
所以,有不同的抽取方法N=3×3=9种.
故答案为:D.

点评 本题主要考查了函数值域的应用,即根据函数的值域确定函数自变量取值的集合,体现了分类讨论和转化的解题思想,属于中档题.

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