Question

3．如图几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD=2．面EAD⊥面ABCD，面FCB⊥面ABCD，且CF⊥BC．
（1）证明：BD⊥AE；
（2）若△ADE是正三角形，当二面角E-BD-F为60°时，求CF的长度．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理求出BD=4，从而由勾股定理得AD⊥BD，进而BD⊥平面ADE，由此能证明BD⊥AE．
（2）以C为原点，CA，CB，CF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出当CF=$\sqrt{3}$时，面角E-BD-F为60°．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD=2．
面EAD⊥面ABCD，面FCB⊥面ABCD，且CF⊥BC，
∴BD=$\sqrt{4+4-2×2×2×cos120°}$=2$\sqrt{3}$，AB=2CD=4，
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD，
又平面ADE⊥平面ABCD，且平面ADE∩平面ABCD=AD，
∴BD⊥平面ADE，
∵AE?平面ADE，∴BD⊥AE．
解：（2）连结AC，由（1）知AD⊥BD，∴AC⊥BC，
∵面FCB⊥面ABCD，且面FCB∩面ABCD=BC，
∴FC⊥面ABCD，∴CA，CB，CF两两垂直，
以C为原点，CA，CB，CF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设CF=λ，（λ＞0），
则C（0，0，0），A（2$\sqrt{3}$，0，0），B（0，2，0），
D（$\sqrt{3}$，-1，0），E（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），F（0，0，λ），
$\overrightarrow{BD}$=（$\sqrt{3}，-3，0$），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BF}$=（0，-2，λ），
平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=\sqrt{3}x-3y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，$\sqrt{3}$，-2），
设平面BDF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=\sqrt{3}a-3b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=-2b+λc=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，\frac{2}{λ}$），
∵面角E-BD-F为60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|4\sqrt{3}-\frac{4}{λ}|}{4•2•\sqrt{1+\frac{1}{{λ}^{2}}}}$，解得$λ=\sqrt{3}$，
∴当CF=$\sqrt{3}$时，面角E-BD-F为60°．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．