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    （4—1：几何证明选讲）如图，是圆的切线，是切点，直线交圆于、两点，是的中点，连结并延长交圆于点，若，∠，则________．
    解：连接OA，过O作OF⊥AE，过A作AM⊥PC，如图所示，
    ∵PA为圆O的切线，
    ∴∠PAO=90°，又PA=，∠APB=30°，∴∠AOD=120°，
    ∴OA=PAtan30°=×  =2，又D为OC中点，故OD=1，
    根据余弦定理得：AD2=OA2+OD2-2OA•ODcos∠AOD=4+1+2=7，解得：AD=" 7" ，
    ∵在Rt△APM中，∠APM=30°，且AP="2" 3 ，
    ∴AM=AP= ，
    故三角形AOD的面积S= OD•AM=  ，则S=AD•OF=  OF= ，
    ∴OF=  ，
    在Rt△AOF中，根据勾股定理得：AF2= OA2-OF2 =，
    则AE=2AF=．
    故答案为：
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