已知数列中,,且.为数列的前项和,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项的和;
(3)证明对一切,有.
(1);(2);(3)证明过程详见解析.
解析试题分析:本题主要考查数列的通项公式、递推公式、裂项相消法、数学归纳法、错位相减法等基础知识,考查学生分析问题解决问题的能力,转化能力和计算能力.第一问,用n-1代替中的n,得到一个等式,2个等式相减,得到,分n为奇数偶数进行讨论,分别求出的通项公式,由于得到的式子相同,所以的通项公式就是;第二问,要求数列的前n项和,关键是需要求出的通项公式,可以利用已知的递推公式进行推导,也可以利用数学归纳法猜想证明,得到的通项公式后,代入到中,得到的通项公式,最后用错位相减法进行求和;第三问,先用放缩法对原式进行变形,再用裂项相消法求和,最后和作比较.
试题解析:(1)由已知得,,,
由题意,即,当n为奇数时,;当n为偶数时,.
所以.4分
(2)解法一:由已知,对有,
两边同除以,得,即,
于是,==,
即,,所以=,
,,又时也成立,故,.
所以,8分
解法二:也可以归纳、猜想得出,然后用数学归纳法证明.
(3)当,有,
所以时,有
=.
当时,.故对一切,有.14分
考点:1.由求;2.错位相减法;3.数学归纳法;4.裂项相消法.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
一个三角形数表按如下方式构成(如图:其中项数):第一行是以4为首项,4为公差的等差数列,从第二行起,每一个数是其肩上两个数的和,例如:;为数表中第行的第个数.
(1)求第2行和第3行的通项公式和;
(2)证明:数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列;
(3)求关于()的表达式.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n,数列{bn}的前n项和Tn=2-bn.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)设cn=·bn,证明:当且仅当n≥3时,cn+1<cn..
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