Question

已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁的三视图如图所示，其中主视图AA₁B₁B和左视图B₁BCC₁均为矩形，俯高图△A₁B₁C₁中，A₁C₁=3，A₁B₁=5，
（1）在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，求证：BC⊥AC₁；
（2）在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，若D是底边AB的中点，求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）若三棱柱的高为5，求三视图中左视图的面积.

Answer 1

12

（1）因为主视图和左视图均为矩形、所以该三棱柱为直三棱柱，
又俯视图△A₁B₁C₁中，A₁C₁=3，A₁B₁=5，，
由余弦定理可得
又∵BC⊥CC₁，CC₁∩A₁C₁=C₁，∴BC⊥平面ACC₁A₁
∵AC₁平面ACC₁A₁，∴BC⊥AC₁
（2）连BC₁交B₁C于M，则M为BC₁的中点，连DM，则DM∥AC₁              
∵DM平面DCB₁，AC₁平面DCB₁，∴AC₁∥平面CDB₁  
（3）左视图中BC的长等于底面△ABC中顶点C到边AB的距离d
 ∴左视图的面积