Question

已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，2），B（1，3），C（2，5），l为BC边上的高所在直线．
（1）求直线l的方程；
（2）直线l与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1相交于D、E两点，△CDE是以C（2，5）为直角顶点的等腰直角三角形，求该椭圆的方程．

Answer 1

（1）k_BC=2，因为l为BC边上的高所在直线，∴l⊥BC，∴k_l•k_BC=-1，解得kl=-

1

2

，
直线l的方程为：y-2=-

1

2

（x-3），即：x+2y-7=0
（2）过C作CF⊥DE，依题意，知F为DE中点，直线CF可求得为：2x-y+1=0．
联立两直线方程可求得：F（1，3），
由椭圆方程与直线ED联立方程组，
可得：（a²+4b²）y²-28b²y+49b²-a²b²=0y1+y2=

28b2

a2+4b2

=6，化为b2=

3

2

a2，
又CF=

5

，所以，|DE|=2

5

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=2

5

，即

5(y2-y1)2

=2

5

，
所以，(y2+y1)2-4y1y2=4，即36-4

49b2-a2b2

a2+4b2

=4，解得：a2=

35

3

，b2=

35

2

，
所以，所求方程为：

x2

35 3

+

y2

35 2

=1