Question

（Ⅰ）已知a＞b＞0，求证：

a

-

b

＜

a-b

；
（Ⅱ）已知x，y，z均为实数，且a=x²-2y+

π

2

，b=y²-2z+

π

3

，c=z²-2x+

π

6

求证：a，b，c中至少有一个大于0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用综合法，证明0＜（

a

-

b

）²＜（

a-b

）²即可；
（Ⅱ）采用反证法，a、b、c中至少有一个大于零对立面是没有一个大于0．故可假设三者皆小于等于0推出矛盾来．

解答：证明：（Ⅰ）∵a＞b＞0，∴b＜

ab

，∴2b＜2

ab

∴-2

ab

＜-2b
∴a-2

ab

+b＜a+b-2b
∴0＜（

a

-

b

）²＜（

a-b

）²
∴

a

-

b

＜

a-b

；
（Ⅱ）假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0．
而a+b+c=x²-2y+

π

2

+y²-2z+

π

3

+z²-2x+

π

6

=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3，
∵π-3＞0，且无论x、y、z为何实数，（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²≥0，
∴a+b+c＞0，这与a+b+c≤0矛盾
因此，a、b、c中至少有一个大于0．

点评：本题的考点是不等式的证明，考查综合法与反证法．反证法，其特征是先假设命题的否定成立，推证出矛盾说明假设不成立，得出原命题成立．反证法一般适合用来证明正面证明较麻烦，而其对立面包含情况较少的情况．