Question

（选修4-1，几何证明选讲）已知O为△ABC外接圆的圆心，AE是圆的直径，AD⊥BC，BF⊥AC，D，F为垂足，AD、BF相交于点H，OP⊥AB，垂足为P．
（1）求证：AB•AC=AE•AD；
（2）求证：CH=2OP．

Answer 1

证明：（1）连接BE，
因为AE是直径，所以AB⊥BE，
又AD⊥BC，∠AEB=∠ACD，
所以Rt△ABE∽Rt△ADC．
∴，∴AB•AC=AE•AD．
（2）连接CE，则CE⊥AC，又BH⊥AC，∴BH∥CE．
∵BH⊥AC，AH⊥BC，所以H为△ABC的垂心．
CH⊥AB，EB⊥AB，∴BE∥CH
所以四边形BECH为平行四边形，∴CH=BE．
∵OP⊥AB，EB⊥AB，∴OP∥BE．
又O为AE的中点．∴OP=BE，∴OP=CH．
∴CH=2OP．
分析：（1）利用AE是直径，可得AB⊥BE，再利用AD⊥BC，∠AEB=∠ACD即可证明Rt△ABE∽Rt△ADC，进而证得结论．
（2）先利用CE⊥AC以及BH⊥AC，得BH∥CE，进而得BH⊥AC，AH⊥BC，证得H为△ABC的垂心，再利用CH⊥AB，EB⊥AB得四边形BECH为平行四边形?CH=BE，最后利用OP⊥AB，EB⊥AB，得OP∥BE，再利用O为AE的中点即可证明结论．
点评：一般在证明线段之间的乘积关系时，其常用方法是利用相似三角形的性质来证明．