Question

 

    （理）如图2，E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD的中点，G是EF上的一点.

将△GAB、△GCB分别沿AB、CD翻折成△G₁AB、△G₂CD，并连结G₁G₂，使得平面G₁AB⊥平面ABCD，G₁G₂//AD，且G₁G₂<AD. 连结BG₂，如图3.

   （Ⅰ）证明平面G₁AB⊥平面G₁ADG₂；

   （Ⅱ）当AB=12，BC=25，EG=8时，求直线BG₂和平面G₁ADG₂所成的角.

 

 

 

（文）已知某质点的运动方程为，其运动轨迹的一部分如图所示.

   （1）试确定b、c的值；

   （2）若当恒成立，

求d的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （理）解  解法一（I）因为平面G₁AB⊥平面ABCD，平面G₁AB∩平面ABCD=AB，

    AD⊥AB，AD平面ABCD，所以AD⊥平面G₁AB. 又AD 平面G₁ADG₂，所以平面G₁AB⊥平面G₁ADG₂.

（II）过点B作BH⊥AG₁于点H，连结G₂H，

由（I）的结论可知，BH⊥平面G₁ADG₂，

所以∠BG₁H是BG₂和平面G₁ADG₂所成的角.

因为平面G₁AB⊥平面ABCD，

平面G₁AB∩平面ABCD=AB，G₁E=AB

G₁E平面G₁AB，所以G₁E⊥平面ABCD，故G₁E⊥EF.

因为G₁G₂<AD，AD=EF，所以可在EF上取一点O，使EO=G₁G₂，又因

为G₁G₂//AD//EO，所以四边形G₁EOG₂是矩形.

由题设AB=12，BC=25，EG=8，则GF=17.

所以G₂O=G₁E=8，G₂F=17，

OF=

因为AD⊥平面G₁AB，G₁G₂//AD，

所以G₁G₂⊥平面G₁AB，从而G₁G₂⊥G₁B.

故BG=BE²+EG+G₁G=6²+8²+10²=200，BG₂=.

又AG₁=

故

即直线BG₂与平面G₁ADG₂所成的角是

解法二 （I）因为平面G₁AB⊥平面ABCD，平面G₁AB∩平面ABCD=AB，

G₁E⊥AB，G₁E平面G₁AB，所以G₁E⊥平面ABCD，从而G₁E⊥AD.

又AB⊥AD，所以AD⊥平面G₁AB. 因为AD平面G₁ADG₂，

所以平面G₁AB⊥平面G₁ADG₂.

（II）由（I）可知，G₁E⊥平面ABCD，故可以E为原点，分别以直线EB、EF、EG₁，为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图）.由题设AB=12，BC=25，EG=8，

则EB=6，EF=25，EG₁=8，相关各点的坐标分别是A（－6，0，0），

D（－6，25，0），G₁（0，0，8），B（6，0，0）

所以.

设的一个法向量，

由

过点G₂作G₂O⊥平面ABCD于点O，因为G₂G=G₂D，所以OC=OD，

于是点O在y轴上.

因为G₁G₂//AD，所以G₁G₂//EF，G₂O=G₁E=8.

设G₂（0，m，8）（0<m<25），由17²=8²+（25－m）²解得m=10，

所以=（0，10，8）－（6，0，0）=（－6，10，8）.

设BG₂和平面G₁ADG₂所成的有是θ，则

故直线BG₂与平面G₁ADG₂所成的角是

（文） 解：（1）S′（t）=3t²+2bt+c，由图象可知，S（t）在t=1和t=3处取极值，

∴S′（1）=0，S′（3）=0，…………………………………………2分

即1，3，是方程3t²+2bt+c=0的两根，

   （2）由（1）知，S′（t）=tt²+9t+d， S′（t）=3（t－1）（t－3）.

    当t∈[，1]时，S′（t）>0，当t∈（1，3）时，S′（t）<0，

当t∈（3，4）时，S′（t）>0.

∴当t∈[，4]时，S（t）的最大值为4+d，…………………………9分

S（t）<3d²在[，4]上恒成立的充要条件是4+d<3d²，

∴解得d的取值范围是d>或d<－1.………………………………12分