Question

如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度1为半径的圆上有两点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）．（0＜α＜β＜π）
（1）试用A、B两点的坐标表示向量

OA

与

OB

的夹角β-α的余弦值；
（2）计算cos15°的值；
（3）若K

OA

+

OB

与

OA

-K

OB

的长度相等（其中K为非零实数），求β-α的值．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则表示即可；
（2）将15°变形为45°-30°，利用两角和与差的余弦函数公式化简即可求出值；
（3）利用平面向量的数量积运算法则，根据已知长度相等列出关系式，即可求出β-α的度数．

解答：解：（1）∵

OA

=（cosα，sinα），

OB

=（cosβ，sinβ），
∴

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|•cos（β-α）=cos（β-α）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）cos15°=cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°=

6 + 2

4

；
（3）根据题意得：（kcosα+cosβ）²+（ksinα+sinβ）²=（cosα-kcosβ）²+（sinα-ksinβ）²，
整理得：4kcos（β-α）=0，
∵k≠0，∴cos（β-α）=0，
∵0＜α＜β＜π，
∴0＜β-α＜π，
∴α-β=

π

2

．

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，平面向量的数量积运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．