Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a、b∈[-1，1]，a+b≠0时，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．判断函数f（x）在[-1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论．

Answer 1

分析：任取x₁、x₂两数使x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，进而根据函数为奇函数推知f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂），让f（x₁）+f（-x₂）除以x₁-x₂再乘以x₁-x₂配出

f(a)+f(b)

a+b

的形式，进而判断出f（x₁）-f（x₂）与0的关系，进而证明出函数的单调性．

解答：解：任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则-x₂∈[-1，1]．又f（x）是奇函数，于是
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

•（x₁-x₂）．
据已知

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．解题时要注意把未知条件拼凑出已知条件的形式，达到解题的目的．