Question

某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提前通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是

1

3

，且每题正确完成与否互不影响．求：
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．

Answer 1

分析：（1）根据概率公式分别求出随机变量的分布列，并计算出数学期望．（2）利用均值和方差分析两个考试的实验操作能力．

解答：解：（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ、η，
则ξ取值分别为1，2，3；η取值分别为0，1，2，3．…（2分）
P(ξ=1)=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，P(ξ=2)=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，P(ξ=3)=

C 3 4 C 0 2

C 3 6

=

1

5

．
∴考生甲正确完成题数的概率分布列为

ξ	1	2	3
p	1 5	3 5	1 5

…（4分）
Eξ=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2，
因为P(η=0)=

C

0 3

(1-

2

3

)3=

1

27

，同理：P(η=1)=

6

27

，P(η=2)=

12

27

，P(η=3)=

8

27

．
∴考生乙正确完成题数的概率分布列为：

η	0	1	2	3
p	1 27	6 27	12 27	8 27

…（8分）
Eη=0×

1

27

+1×

6

27

+2×

12

27

+3×

8

27

=2．…（9分）
（2）∵Dξ=(2-1)2×

1

5

+(2-2)2×

3

5

+(2-3)2×

1

5

=

2

5

，…（10分）
Dη=(2-0)2×

1

27

+(2-1)2×

6

27

+(2-2)2×

12

27

+(2-3)2×

8

27

=

2

3

．…（11分）
（或Dη=npq=3×

2

3

×

1

3

=

2

3

）．∴Dξ＜Dη．
∵P(ξ≥2)=

3

5

+

1

5

=0.8，P(η≥2)=

12

27

+

8

27

≈0.74，
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2）．
从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成2题的概率考察，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强．                              …（12分）

点评：本题主要考查概率和统计的综合应用，利用概率公式分别计算出随机变量的分布列，考查学生的运算能力．