Question

【题目】已知函数f（x）=2x﹣3x2 ， 设数列{an}满足：a1= ，an+1=f（an）
（1）求证：对任意的n∈N* ， 都有0＜an＜ ；
（2）求证： + +…+ ≥4n+1﹣4．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵an+1=f（an），函数f（x）=2x﹣3x2，

∴an+1=2an﹣3 =﹣3 + ≤ ．

若an+1= ，则an= ，可得a1= ，与已知a1= 矛盾，因此等号不成立．∴an＜ ．

= = =3an（3an﹣2） ，

由an＜ （n∈N*），可得an+1 ，3an﹣2＜0，因此an+1与an同号，a1= ＞0，∴an＞0，

综上可得：对任意的n∈N*，都有0＜an＜

（2）解：∵0＜an＜ ，an+1=2an﹣3 ，∴2 an+1﹣an= =an（1﹣3an）＞0，

∴an+1＞an，∴数列{an}单调递增．

∴n＞1时， ，

∴ ＞4，

∴ = = ＞ ＞ ＞…＞ =4n+1，

∴ + +…+ ≥3（4+42+…+4n）=3× =4n+1﹣4．

∴ + +…+ ≥4n+1﹣4

【解析】1、由题意可得an+1=2an-3an2=-3(an-)2 +,可得做差an+1(an+1-)整理可得3an（3an﹣2） ( an ) 2 由（nN*) 可得an+1与an同号因此an>0.
2、由题意0＜an＜ ，an+1=an﹣3 a n2 ，∴an+1﹣an= a n 3 a n 2=an（1﹣3an）＞0，因此数列{an}单调递增n＞1时， > a n > ，

∴ ＞4，由递推公式可得式子 再由等比数列求和公式可得上式等于4n+1﹣4．即得结论。

【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．