Question

（2012•湖北）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），
（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；
（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）设BD=x，先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥A-BCD的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；
（2）由（1）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N点坐标，从而确定N点位置，再求平面BMN的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角

解答：解：（1）设BD=x，则CD=3-x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3-x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴V_A-BCD=

1

3

×AD×S_△BCD=

1

3

×（3-x）×

1

2

×x（3-x）=

1

6

（x³-6x²+9x）
设f（x）=

1

6

（x³-6x²+9x）  x∈（0，3），
∵f′（x）=

1

2

（x-1）（x-3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数
∴当x=1时，函数f（x）取最大值
∴当BD=1时，三棱锥A-BCD的体积最大；
（2）以D为原点，建立如图直角坐标系D-xyz，
由（1）知，三棱锥A-BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2
∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E（

1

2

，1，0），且

BM

=（-1，1，1）
设N（0，λ，0），则

EN

=（-

1

2

，λ-1，0）
∵EN⊥BM，∴

EN

•

BM

=0
即（-1，1，1）•（-

1

2

，λ-1，0）=

1

2

+λ-1=0，∴λ=

1

2

，∴N（0，

1

2

，0）
∴当DN=

1

2

时，EN⊥BM
设平面BMN的一个法向量为

n

=（x，y，z），由

n • BN =0 n • BM =0

及

BN

=（-1，

1

2

，0）
得

y=2x z=-x

，取

n

=（1，2，-1）
设EN与平面BMN所成角为θ，则

EN

=（-

1

2

，-

1

2

，0）
sinθ=|cos＜

EN

，

n

＞|=|

EN • n

| EN |•| n |

|=

|- 1 2 -1|

6 × 2 2

=

3

2

∴θ=60°
∴EN与平面BMN所成角的大小为60°

点评：本题主要考查了线面垂直的判定，折叠问题中的不变量，空间线面角的计算方法，空间向量、空间直角坐标系的运用，有一定的运算量，属中档题