Question

设S_n是正项数列B的前n项和，2Sn=an2+an．
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知bn=

an

2an

，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由给出的数列的递推式，取n=1时，求出a₁，取n=n-1写出第二个递推式，两式相减后整理，得到a_n-a_n-1=1，即可证明数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的{a_n}的通项公式代入b_n，然后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由2Sn=an2+an．
当n=1时，2a1=a12+a1，又a₁＞0，解得a₁=1．
当n≥2时，2an=2(Sn-Sn-1)=(

a

2 n

+an)-(

a

2 n-1

+an-1)，
∴2an=

a

2 n

-

a

2 n-1

+an-an-1，
∴an2-an-12=an+an-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1
则数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）=n．
（Ⅱ）∵bn=

n

2n

，
∴Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①
又因为

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

++…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

所以Tn=2-

n+2

2n

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了利用错位相减法求数列的前n项和，由一个等差数列和一个等比数列的积构成的数列，求其前n项和，一般是借助于错位相减法，此题是中档题．