Question

如图所示，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥DCAB∥DC，且满足
DC-DD₁=2AD=2AB=2．
（1）求证：DB⊥平面B₁BCC；
（2）求二面角A₁-BD-C₁的余弦值．

Answer 1

分析：（1）设E是DC的中点，连接BE，BD⊥BC，又BD⊥BB₁，B₁B∩BC=B，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥平面BCC₁B₁；
（2）取DB的中点F，连接A₁F，取DC₁的中点M，连接FM，根据二面角的定义证得∠A₁FM为二面角A₁-BD-C₁的平面角，取D₁C₁的中点H，连接A₁H，HM，在Rt△A₁HM中求出∠A₁FM即可．

解答：解：（1）设E是DC的中点，连接BE，
则四边形DABE为正方形，∴BE⊥CD．故BD=

2

，BC=

2

，CD=2，
∴∠DBC=90°，即BD⊥BC．
又BD⊥BB₁，B₁B∩BC=B
∴BD⊥平面BCC₁B₁，（6分）
（2）由（I）知DB⊥平面BCC₁B₁，
又BC₁?平面BCC₁B₁，∴BD⊥BC₁，
取DB的中点F，连接A₁F，又A₁D=A₁B，
则A₁F⊥BD．取DC₁的中点M，连接FM，则FM∥BC₁，∴FM⊥BD．
∴∠A₁FM为二面角A₁-BD-C₁的平面角．
连接A₁M，在△A₁FM中，A₁F=

3 2

2

，
FM=

1

2

BC1=

1

2

BC2+CC12

=

6

2

，
取D₁C₁的中点H，连接A₁H，HM，在Rt△A₁HM中，
∵A₁H=

2

，HM=1，∴A₁M=

3

．
∴cos∠A₁FM=

3

3

．
∴二面角A₁-BD-C₁的余弦值为

3

3

．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直，以及二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．