【题目】已知点是圆心为的圆上的动点,点,线段的垂直平分线交于点.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)矩形的边所在直线与曲线均相切,设矩形的面积为,求的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析:(1)利用定义法求椭圆的轨迹方程;(2)设的方程为, 的方程为,直线与间的距离为,直线与间的距离为, ,从而得到S的范围.
试题解析:
(1)依题,
所以 (为定值),
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆,其中,
所以点轨迹的方程是
(2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时,易得;
②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时,其四边所在直线的斜率存在且不为0,
设的方程为, 的方程为,则的方程为, 的方程为,其中,
直线与间的距离为,
同理直线与间的距离为,
所以
,
因为直线与椭圆相切,所以,所以,同理,
所以
,
(当且仅当时,不等式取等号),
所以,即,
由①②可知, .
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【题目】已知函数f(x)=ax3﹣x2+4x+3,若在区间[﹣2,1]上,f(x)≥0恒成立,则a的取值范围是( )
A.[﹣6,﹣2]
B.
C.[﹣5,﹣3]
D.[﹣4,﹣3]
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【题目】对于0<a<1,给出下列四个不等式( )
①loga(1+a)<loga(1+ );
②loga(1+a)<loga(1+ );
③a1+a<a ;
④a1+a<a ;
其中成立的是( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
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【题目】已知函数f(x)=x3﹣3x
(1)求函数f(x)的单调区间,并求函数f(x)的极值;
(2)若方程x3﹣3x﹣a+1=0有三个相异的实数根,求a的取值范围.
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【题目】设函数f(x)=ex+x﹣2,g(x)=lnx+x2﹣3,若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则( )
A.0<g(a)<f(b)
B.f(b)<g(a)<0
C.f(b)<0<g(a)
D.g(a)<0<f(b)
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【题目】已知函数f(x)=alnx+(x﹣c)|x﹣c|,a<0,c>0.
(1)当a=﹣ ,c= 时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当c= +1时,若f(x)≥ 对x∈(c,+∞)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设函数f(x)的图象在点P(x1 , f(x1))、Q(x2 , f(x2))两处的切线分别为l1、l2 . 若x1= ,x2=c,且l1⊥l2 , 求实数c的最小值.
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