Question

已知a_i＞0（i=1，2，…，n），考察下列式子：(i)a1•

1

a1

≥1；(ii)(a1+a2)(

1

a1

+

1

a2

)≥4；(iii)(a1+a2+a3)(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)≥9．我们可以归纳出，对a₁，a₂，…，a_n也成立的类似不等式为

 

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的不等式(i)a1•

1

a1

≥1；(ii)(a1+a2)(

1

a1

+

1

a2

)≥4；(iii)(a1+a2+a3)(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)≥9，分析不等式左边每一个因式的项数与右边的数之间的关系，易得等式左边每一个因式的项数为n时，右边的数为n²，归纳后即可推断出第n（n∈N^*）个不等式．

解答：解：由(i)a1•

1

a1

≥1；
(ii)(a1+a2)(

1

a1

+

1

a2

)≥4；
(iii)(a1+a2+a3)(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)≥9．
…
∴(a1+a2+…+an)(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)≥n2
故答案为：(a1+a2+…+an)(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)≥n2

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．