Question

【题目】若函数f（x）=ex（x2+ax+b）有极值点x1 ， x2（x1＜x2），且f（x1）=x1 ， 则关于x的方程f2（x）+（2+a）f（x）+a+b=0的不同实根个数为（ ）
A.0
B.3
C.4
D.5

Answer 1

【答案】B
【解析】解：函数f（x）有两个不相同的极值点， 即f′（x）=ex[x2+（2+a）x+a+b]=0有两个不相同的实数根x1 ， x2 ，
也就是方程x2+（2+a）x+a+b=0有两个不相同的实数根，
所以△=（2+a）2﹣4（a+b）＞0；
由于方程f2（x）+（2+a）f（x）+a+b=0的判别式△′=△，
故此方程的两个解为f（x）=x1或f（x）=x2 ．
由于函数y=f（x）的图象和直线y=x1的交点个数即为方程f（x）=x1的解的个数，
函数y=f（x）的图象和直线y=x2的交点个数即为方程f（x）=x2的解的个数．
根据函数的单调性以及f（x1）=x1 ，
可知y=f（x）的图象和直线y=x1的交点个数为2，
y=f（x）的图象和直线y=x2的交点个数为1．
所以f（x）=x1或f（x）=x2共有三个不同的实数根，
即关于x的方程f2（x）+（2+a）f（x）+a+b=0的不同实根个数为3，
故选：B．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．