Question

16．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为$2\sqrt{3}$，离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（0，3）的直线m与椭圆C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．

Answer 1

分析 （1）由椭圆短轴长为$2\sqrt{3}$，离心率为$\frac{1}{2}$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）P（0，3），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则2x₁=0+x₂，2y₁=3+y₂，设直线m的方程为y=kx+3，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得：（3+4k²）x²+24kx+24=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合椭圆性质能求出直线m的斜率．

解答 解：（1）∵椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为$2\sqrt{3}$，离心率为$\frac{1}{2}$，
∴设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），
且$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{2b=2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）P（0，3），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵A是PB的中点，∴2x₁=0+x₂，2y₁=3+y₂，
椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$的上下顶点分别是（0，$\sqrt{3}$），（0，-$\sqrt{3}$），
经检验直线m不经过这2点，即直线m斜率k存在，
设直线m的方程为y=kx+3，
联立椭圆和直线方程，$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
整理得：（3+4k²）x²+24kx+24=0，
△＞0，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-24k}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{24}{3+4{k}^{2}}$，
$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{1}{2}+2$，
∴$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{（-24k）^{2}}{（3+4{k}^{2}）•24}$=$\frac{9}{2}$，解得k=$±\frac{3}{2}$，
所以，直线m的斜率k=$±\frac{3}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆性质的合理运用．