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    4．设圆x2+y2+2$\sqrt{3}$x-13=0的圆心为A，直线l过点B（$\sqrt{3}$，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
    （1）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
    （2）过点M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）做直线MA，MB分别与椭圆相交与A，B两点，满足直线MA与MB的倾斜角互补，判断直线AB的斜率是否为定值，若为定值求出此定值，若不为定值说明理由．

    分析 （1）根据三角形相似得到$\frac{DE}{AD}$=$\frac{BE}{AC}$，得到AE+DE=4，故EA+EB=4是定值，
    （2）设出直线方程，联立方程组，求出x1+1=$\frac{{9k}^{2}-4\sqrt{3}k}{{4k}^{2}+1}$，x2+1=$\frac{{9k}^{2}+4\sqrt{3}k}{{4k}^{2}+1}$，根据y1-y2=k（x1-1）+k（x2-1），求出直线AB的斜率是定值即可．

    解答 （1）证明：∵BE∥AC，∴△BDE∽△CAD，
    ∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{BE}{AC}$，∵AD=AC=4，∴DE=BE，∵AE+DE=4，
    故|EA|+|EB|=4是定值，
    由椭圆的定义得：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1，（y≠0）；
    （2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
    直线MA的方程是y=k（x-1）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
    直线MB的方程是y=-k（x-1）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
    故$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}{+y}^{2}=1}\\{y=k（x-1）+\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，消去y得：
    （4k2+1）x2+（4$\sqrt{3}$k-8k2）x+4k2-4$\sqrt{3}$k-1=0，
    x1=1，x2-1=-$\frac{4\sqrt{3}k+2}{{4k}^{2}+1}$，
    故y1-y2=k（x1-1）+k（x2-1），
    则直线AB的斜率KAB=$\frac{{y}_{2}{-y}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$=$\frac{-4k}{-9\sqrt{3}k}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

    点评 本题考查了直线方程、椭圆的方程问题，考查直线和椭圆的关系，属于压轴题．

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