Question

已知集合A={x∈R|mx²-2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
（Ⅰ）A=∅；
（Ⅱ）A恰有两个子集；
（Ⅲ）A∩（，2）≠∅

Answer 1

解：（Ⅰ）若A=∅，则关于x的方程mx²-2x+1=0 没有实数解，则m≠0，
且△=4-4m＜0，所以m＞1； （3分）
（Ⅱ）若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx²-2x+1=0 恰有一个实数解，
讨论：①当m=0时，x=，满足题意；
②当m≠0时，△=4-4m，所以m=1．
综上所述，m的集合为{0，1}．（3分）
（Ⅲ）若A∩（，2）≠∅则关于x的方程mx²=2x-1在区间（，2）内有解，
这等价于当x∈（，2）时，求值域：m=-=1-（-1）²
∴m∈（0，1]（5分）
分析：（Ⅰ）若A=∅，则关于x的方程mx²-2x+1=0 没有实数解，则m≠0，由此能求出实数m的取值范围．
（Ⅱ）若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx²-2x+1=0 恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．
（Ⅲ）若A∩（，2）≠∅，则关于x的方程mx²=2x-1在区间（，2）内有解，这等价于当x∈（，2）时，求值域：m=-=1-（-1）²，由此能求出实数m的取值范围．
点评：本题考查实数m的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分析法、讨论法和等价转化法的合理运用．